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普通物理学 I （H）

课程简介

  • 开课时间：2022-2023 春夏
  • 授课教师：Michael Smidman、路欣
  • 分数构成：
    • 作业 30%
    • 期中考试和课后 Quiz 30%
    • 期末考试 40%
  • 授课方式：双语教学

个人评价

在外教班上学普通物理学，首先遇到的障碍就是语言问题。大多数同学在听完第一节课后，要么换到了其他班上，要么开启自学。

外教班的普通物理学授课内容以《Physics》为主，试图让你深刻理解物理学的一些基本思想。从每次课后的 Quiz 和作业内容来看，并不会有复杂的计算和分析（其他班的内容则就像是高中物理竞赛），但是考察得会细节的知识，需要对各种基本定理的思想和推导过程了如于心。

考前补天

相对论

  • 解决相对论问题时，明确以下东西：

    • 静止参考系和运动参考系
    • 固有时间和固有长度
    • 事件发生的时间和地点

  • 洛伦兹变换：记住下面两个公式，其他公式都能推导出来： $$ \gamma=\frac1{\sqrt{1-u2/c2}}\ x'=\gamma(x-ut)\ t'=\gamma(t-ux/c^2) $$

    • 速度变换： $$ v_x'=\frac{\Delta x'}{\Delta t'}\ v_y'=\frac{\Delta y'}{\Delta t'} $$

    • 钟慢效应：钟表的固有时 \(\Delta t_0\) 与你测量得到的时间 \(\Delta t\) 之间的关系。

      • 关键条件：对于钟所在静止参考系中，两次测量事件的地点相同。

      • 方法一：你在 \(S\) 系中静止，钟在 \(S'\) 系中静止。

        • 你在 \(S\) 系中发出两个事件：第一次读取钟的时间、第二次读取钟的时间。这两个事件的时间间隔是你要取得的 \(\Delta t\)，地点也不同（钟移动了）。

        • 这两个事件在 \(S'\) 系中是同一地点的（都是钟的位置），而时间间隔为固有时 \(\Delta t_0\)。

        • 代入洛伦兹变换公式得到： $$ 0=\gamma(\Delta x - u\Delta t)\ \Delta t_0 = \gamma(\Delta t - u\Delta x / c^2) $$ 消去 \(\Delta x\) 得到结果 \(\Delta t = \gamma \Delta t_0\)。

      • 方法二：你在 \(S'\) 系中静止，钟在 \(S\) 系中静止。

        • 你在 \(S'\) 系中发出两个事件。这两个事件的时间间隔是你要取得的 \(\Delta t\)。

        • 这两个事件在 \(S\) 系中是同一地点的，\(\Delta x = 0\)，时间间隔为 \(\Delta t_0\)。

        • 代入洛伦兹变换公式得到： $$ \Delta t = \gamma(\Delta t_0 - u\Delta x/c^2) = \gamma\Delta t_0 $$ 直接得到了结果。

    • 尺缩效应：一根杆的固有长度 \(L_0\) 与你测量得到的长度 \(L\) 之间的关系。

      • 关键条件：对于测量者所在的静止参考系中，两次测量事件时间相同。

      • 方法一：你在 \(S\) 系中静止，杆在 \(S'\) 系中静止。

        • 你在 \(S\) 系中同时发出两个事件：测量杆头的位置和杆尾的位置。\(\Delta t = 0\)，\(\Delta L\) 是你要的量。

        • 在 \(S'\) 系中看这两个事件，它们不同时发生，但已知它们之间的距离为 \(\Delta L_0\)。

        • 代入洛伦兹变换公式得到： $$ \Delta L_0 = \gamma(\Delta L - u \Delta t) = \gamma\Delta L $$ 直接得到了结果。

      • 方法二：你在 \(S'\) 系中静止，杆在 \(S\) 系中静止。

        • 你在 \(S'\) 系中同时发出两个事件：测量杆头的位置和杆尾的位置。\(\Delta t' = 0\)，\(\Delta L\) 是你要的量。

        • 在 \(S\) 系中看这两个事件，它们不同时发生，但已知它们之间的距离为 \(\Delta L_0\)。

        • 代入洛伦兹变换公式得到： $$ \Delta L = \gamma(\Delta L_0 - u\Delta t)\ \Delta t' = 0 = \gamma(\Delta t - u\Delta L_0/c^2) $$ 消去 \(\Delta t\) 得到结果 \(\Delta L = \frac{\Delta L_0}{\gamma}\)

  • 光的多普勒效应：

    • 光的传播方向与运动方向相同时：
    \[ f=f_0\sqrt{\frac{1-u/c}{1+u/c}} \]
    • 若相对靠近，则用 \(-u\) 代替。

  • 狭义相对论动力学

    • 动量 $$ \mathbf{p}=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}}\mathbf{v} $$

    • 质量 $$ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(v/c)^2}} $$

      • 光子的质量是 $$ m_\phi=\frac{hv}{c^2} $$

    • 相对论动量和能量关关系式 $$ E2=c2p2+E_02=c2p2+m_02c4 $$

分子动理论和理想气体

\[ T_{tr}=273.16\mathrm{K}\\ T_C=T-273.15\\ \]

Ideal gas law: $$ pV=NkT=nRT $$

  • Boltzmann constant \(k=1.38\times10^{-23}\mathrm{J/K}\)
  • Molar gas constant \(R=8.31\mathrm{J/mol\cdot K}\)

Thermal Expansion:

\[ \Delta L = \alpha L \Delta T \]

  • \(\alpha\) is the coefficient of linear expansion.

  • For many solids, called isotropic, the percent change in length for a given temperature change is the same for all lines in the solid. So we have volume expansion:

\[ \Delta V = \beta V \Delta T = 3 \alpha V \Delta T\\ \Rightarrow \beta = 3 \alpha \]

Pressure

Molecular View of Pressure:

  • Average impulsive force exerted by on molecule: \(F_x=\frac{mv_x^2}{L}\)
    • Change in momentum: \(2mv_x\)
    • Time required to cross the cube: \(\frac{L}{v_x}\)
  • Total force on face of cube:
    • \(\rho=Nm/L^3\) is density.
\[ p = \frac1{L^2}\frac{\sum mv^2_{ix}}{L} = \rho(\frac{\sum^2_{ix}}{N})=\rho(v^2_x)_{av}=\frac13\rho(v^2)_{av} \]

rms is root-mean-square

\[ \Rightarrow v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{(v^2)_{av}}=\sqrt{\frac{3p}{\rho}} \]
  • Root-mean-square speed of the molecules is useful measure of average molecualr speed.

Mean Free Path

Mean free path \(\lambda\) is the average value of straight-line distance our chosen molecule travels between collisions. All molecules of the gas have the same mean free path. $$ \lambda=\frac{kT}{\sqrt2\pi d^2 p} $$

Distribution of molecular speeds

Maxwell speed distribution: $$ N(v)=4\pi N(\frac{m}{2\pi kT}){3/2}v2e{-mv2/2kT} $$ Consequences:

  • Most probable speed \(v_p =\sqrt\frac{2kT}{m}\)
  • Average speed \(v_{av} =\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}\)
  • Root-mean-square speed \(v_{rms} = \sqrt\frac{3kT}{m}\)
  • Average translational kinetic energy \(K_{trans}=\frac32 kT\)

Real Gases

\[ (p+\frac{a}{V_m^2})(V_m-b)=RT \]

热力学

  • 四大准静态过程

    • 等体过程（isochoric）
    • 等压过程（isobaric）
    • 等温过程（isothermal），等温线（isotherm）
    • 绝热过程（adiabatic），条件是为绝热（in thermal isolation）

  • 循环过程

    • \[ \Delta E = 0, Q = A \]

    • 热机（heat engine）

      • 顺时针方向

      • \[ \eta = \frac{A}{Q_1} \]

    • 制冷机（refrigerator）

      • 逆时针方向

      • \[ \omega=\frac{Q_2}{A} \]

  • 卡诺循环（Carnot Cycle）

    • 两恒温热源之间工作。

    • 两个准静态的绝热过程和两个准静态的等温过程。

    • 有正、逆循环

    • \[ \eta_C=1-\frac{Q_2}{Q_1}=1-\frac{T_2}{T_1}\\ \omega = \frac{T_2}{T_1-T_2} \]

    • 卡诺定理：可逆机效率最高，为： $$ \eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} $$

  • 热力学第二定律

    • 不可能从单一热源吸热使之完全转化为功而不产生其他影响。
    • 热量不可能自发从低温物体传向高温物体。

  • 可逆过程

    • 准静态过程+无耗散作用=可逆过程。
    • 不可逆过程实例：
      • 摩擦：功转化为热。由热力学第二定律，热不可能再完全转化为功。
      • 热量从高温物体直接传向低温物体：同上。
      • 气体自由膨胀：用活塞将气体压回去时，必须对气体做功，功转化为气体向外界放出的热，不可能再转化回功。
      • 气体迅速膨胀：活塞附近气体压强小于气体内部压强。如果要用活塞推回去，活塞附近压强不能小于气体内部压强，必定要多做功。这将增加气体内能，以热量形式放出，不可能再转化回功。
    • 过程的可逆与否，与中间状态是否为平衡态密切相关。

  • 熵

    • 熵是一个状态函数，只与初末状态有关，与过程无关。

    • 熵的表达式为： $$ \Delta S = \int^2_1(\frac{\delta Q}{T})_{可逆} $$

    • 在可逆过程中，\(\frac{\delta Q}{T}\) 就是系统的熵变。对于不可逆过程，应当假想一个与其初末状态相同的可逆过程，用可逆过程的公式来计算。

    • 在一个可逆循环中，熵变等于 \(0\)。

    • 不可逆过程中的熵

      • 自由膨胀
        • 此时不能将 \(\frac{\delta Q}{T}=0\) 看作熵变，因为过程不可逆。
        • 设想一个同样初末状态的可逆等温膨胀过程，积分后得 \(\Delta S = \frac{m}{M}R\ln{\frac{V_2}{V_1}}>0\)。
      • 热传导
        • 将两个物体一起看作一个系统。设 \(T_1>T_2\)。
        • 系统总熵变为 \(\frac{\delta Q}{T_2}-\frac{\delta Q}{T_1} > 0\)。

    • 熵增加原理：

      • 封闭系统中，任何不可逆过程，导致系统熵增加。熵只在可逆过程中不变。

    • 玻尔兹曼关系：\(S=k\ln W\)。其中 \(W\) 是热力学概率，即宏观状态所包含的微观状态数。