量子电路¶
量子态的可复制性¶
我们希望从量子态中复制信息，可以想象有两种方式：
- 拷贝：输入一个 \(\ket{\psi}\)，输出 \(\ket{\psi}\ket{\psi}=\alpha^2\ket{00} + \alpha\beta\ket{01} + \alpha\beta\ket{10} + \beta^2\ket{11}\)
- 纠缠：输入一个 \(\ket{\psi}\) 和另一个态如 \(\ket{0}\)，使它们纠缠在一起，输出 \(\alpha\ket{00} + \beta\ket{11}\)
上面两种情况用数学描述，就分别是复制和张量积。接下来我们证明，第一种情况是不可能的。
不可克隆定理
无法完美复制一个未知的量子态。
-
假设存在
设这个克隆器是 \(U_c\) 作用在：
- 输入态 \(\ket{\psi}\)
- 将被复制的态 \(\ket{0}\)
- 辅助态 \(\ket{a_0}\)
-
复制过程
尝试对两个非正交的态 \(\ket{\psi}\) 和 \(\ket{\phi}\) 进行复制：
- \(U_c(\ket{\psi}\ket{0}\ket{a_0}) = \ket{\psi}\ket{\psi}\ket{a_\psi}\)
- \(U_c(\ket{\phi}\ket{0}\ket{a_0}) = \ket{\phi}\ket{\phi}\ket{a_\phi}\)
-
矛盾
对上面两式做内积，得到：\(\braket{\psi|\phi} = (\braket{\psi|\phi})^2\braket{a_\psi|a_\phi}\)，即 \(\braket{\psi|\phi} = \frac1{\braket{a_\psi|a_\phi}}\)。右边分母 \(\leq 1\)，左边 \(\geq 1\)，得 \(\braket{\psi|\phi} = 1\)，与非正交的假设矛盾。
量子电路中的计算¶
在经典数字电路中我们使用一个 \(n\rightarrow m\) 的函数 \(f\)，它将 \(n\) 位输入映射到 \(m\) 位输出。要在量子电路中实现它，我们要找到一个酉变换 \(U_f\) 作用于 \(n+m\) 个量子比特，使得：
\[
U_f\ket{x}\ket{y} = \ket{x}\ket{y\oplus f(x)}
\]
其中 \(\oplus\) 是异或运算，这使得 \(U_f\) 是一个可逆变换：
\[
U_fU_f(\ket{x}\ket{y}) = U_f(\ket{x}\ket{y\oplus f(x)}) = \ket{x}\ket{y\oplus f(x)\oplus f(x)} = \ket{x}\ket{y}
\]
并且当 \(y=0\) 时，\(U_f(\ket{x}\ket{0}) = \ket{x}\ket{f(x)}\)。
量子门¶
| 函数 | 说明 | 矩阵 |
|---|---|---|
snot() |
Hadamard门，将基态变为叠加态 | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}\) |
rx(theta) |
旋转门 \(R_x(\theta)=e^{-i\frac{\theta}2X}\) | \(\begin{bmatrix}\cos(\theta/2)&-i\sin(\theta/2)\\-i\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{bmatrix}\) |
ry(theta) |
旋转门 \(R_y(\theta)=e^{-i\frac{\theta}2Y}\) | \(\begin{bmatrix}\cos(\theta/2)&-\sin(\theta/2)\\\sin(\theta/2)&\cos(\theta/2)\end{bmatrix}\) |
rz(theta) |
旋转门 \(R_z(\theta)=e^{-i\frac{\theta}2Z}\) | \(\begin{bmatrix}e^{-i\theta/2}&0\\0&e^{i\theta/2}\end{bmatrix}\) |
phasegate(theta) |
相位门 \(P(\theta)=\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\theta}\end{bmatrix}\) | \(\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\theta}\end{bmatrix}\) |
cnot() |
CNOT门，控制位为第一个 | \(\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}\) |
csign() |
CSIGN门 | \(\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}\) |
并行性¶
可以把量子比特看作是经典比特（基矢）的复合。对量子态进行 \(U_f\) 变换时，相当于对每个基矢计算 \(f(x)\)，然后把结果叠加起来。这就是量子并行性。
但结果也是叠加态，测量后会坍缩，我们如何获得其中蕴含的结果呢？