自旋、量子比特与线性算子¶

让我们从 Stern-Gerlach 实验来看看为什么会有量子比特。

实验让银原子通过磁场，发生了不同方向的偏转，形成了两个束流。我们知道银原子是中性粒子，它不应该受到磁场的影响。这个实验说明它具有 magnetic moment \(\mu\)，从而受到洛伦兹力 \(F=\mu \cdot B\) 的作用。
从经典物理的角度分析，这个 magnetic moment 来自 \(5s\) 轨道上那个孤独的电子。它没有轨道角动量，但是有自旋角动量 \(S\)。Stern-Gerlach 实验的结果就是对 \(S\) 在 \(z\) 轴投影 \(S_z\) 的测量（算式可以在电磁学书中找到，\(F_z = -\frac{eg}{2m_ec}S_z\frac{\partial B_z}{\partial z}\)）。
实验结果得到两条线，说明 \(S_z\) 只能取两个值，分别为 \(\pm \frac{\hbar}{2}\)。这就是自旋量子数的量子化。我们用 \(\ket{+}\) 和 \(\ket{-}\) 来表示这两个态。
下面是几个变式，当第二次测量方向不同时，出现了与直接相悖的结果。这说明需要一种新的方法来描述这个系统。

==图片待补充==

量子比特就是对这一系统的描述。接下来，我们就离开具体的实验，开始讨论抽象的量子比特的性质。

量子比特¶

从上面的实验可以看出，量子系统的状态本身就和经典比特有很大差异，用比特这个称呼很容易引起误解。一个量子比特（量子态）是复向量空间中的矢量，在之后的学习过程中也应当注意这一点。

接下来我们辨析一下量子态和经典态的差别。在经典情况下，知道一个系统的状态意味着知道一切，可以预测未来。但在量子情况下，知道一个系统的状态并不能预测未来，测量结果是不确定的（回顾上一节对量子随机性 irreducible 的说明）。

测量可以得到的结果就是量子系统的正交基，它们张成了一个复向量空间。基的数量可以不止两个（比如 spin-1 系统有三种可能结果）。该种系统的任意状态可以表示为：

\[ \ket{\psi} = \sum_{i} c_i \ket{i} \]

其中 \(c_i\) 是复数，满足 \(\sum_i |c_i|^2 = 1\)。这个系数的模长平方表示了测量结果为 \(\ket{i}\) 的概率。

既然系统的状态被表示为向量，那么对系统的操作自然而然地表示为线性算子。对于操作的描述，我们依赖于特征值和特征向量。

我们首先对线性算子做一些限制：可以应用到系统上的操作都是自伴算子（量子力学中通常称为厄密的）。这样的算子的特征值都是实数，特征向量之间是正交的。正交这一点很好用，因为我们可以用正交基来表示任意态。

这样的算子可以做谱分解：\(M=\sum_i \lambda_i \ket{i}\bra{i}\)。

量子系统的状态由标准化的态矢 \(\ket{\psi}\) 表示，描述了我们所能知道的该系统的一切信息。
可观测的物理量由算子 \(A\)。
可观测量可能的测量值只能是算子 \(A\) 的特征值 \(a_i\)。
对系统测量得到 \(a_i\) 的概率是 \(|\braket{a_i|\psi}|^2\)，其中 \(\ket{a_i}\) 是 \(a_i\) 对应的特征向量。
测量后，系统的状态会坍缩到 \(\ket{a_i}\)。书上写为 \(\ket{\psi'} = \frac{P_i\ket{\psi}}{\sqrt{\braket{\psi|P_i|\psi}}}\)，其中 \(P_i\) 是投影算子。
系统的演化由薛定谔方程描述：\(i\hbar \frac{d}{dt}\ket{\psi(t)} = H(t)\ket{\psi(t)}\)。