光子和它们在复向量空间中的量子态¶
本节课可能被各种记号搞的糊里糊涂的，我们来梳理一下。
琼斯运算¶
本节课前半部分其实是在介绍怎么使用琼斯运算的各种符号来表示光的偏振并引出量子态的概念。就我个人感觉来说，从两能级系统进行引入或许会更容易理解一些🫠。
偏振光的状态用琼斯向量表示，光学元件用琼斯矩阵表示。偏振光通过光学元件就能运算出新的偏振态。该运算只适用于完全极化的光，不能用于部分极化等其他光。
先说结论：
| 偏振态 | 琼斯向量 | 狄拉克记号 |
|---|---|---|
| x 轴线偏振 | \(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) | \(\ket{H}\) |
| y 轴线偏振 | \(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\) | \(\ket{V}\) |
| 与 x 轴夹角为 \(\theta\) 的线偏振 | \(\begin{bmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}\) | |
| 左旋圆偏振 | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}\) | \(\ket{L}\) |
| 右旋圆偏振 | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}\) | \(\ket{R}\) |
实数的都好理解，让我们看看复数是怎么表示旋转偏振光的。
在电磁学中，平面电磁波表示为下面的形式：
\(E\) 是上式的实部，复数乘子用于表示相位信息。琼斯矢量即为：
表示了振幅和相位信息。在这里，我们把 \(z\)、\(t\) 的信息都去掉了。
为了便于计算，通常把它归一化为单位长度，这就得到了上面的琼斯向量。到这里，\(\ket{H}\) 这样的线偏振光的表示就应该理解清楚了。
接下来我们看相位，这里会引入复数。根据欧拉公式，\(i = e^{i\frac{\pi}{2}}\)，与 \(1 = e^{i0}\) 相比是一个 \(90^\circ\) 的相位差（延迟相位差）。观察左旋圆偏振的琼斯向量，它的 \(y\) 分量为 \(-i\)，说明比 \(x\) 方向的要延迟 \(\frac{\pi}{2}\)。考察 \(t=0\) 时刻开始，\(x\) 方向振幅从 \(1\) 开始减小，\(y\) 方向振幅从 \(0\) 开始增大，这就是左旋圆偏振光矢量的轨迹。
接下来，不妨用几个光学器件来做点计算，进一步体会琼斯运算的意义。
| 器件 | 琼斯矩阵 |
|---|---|
| 穿透方向平行x轴的线偏振片 | \(\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\) |
| 穿透方向与x轴夹45°的线偏振片 | \(\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}\) |
| 右旋偏振片 | \(\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}\) |
| 穿透方向与x轴夹 \(\displaystyle \Psi\) 的线偏振片 | \(\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\Psi &\cos \Psi \sin \Psi \\\cos \Psi \sin \Psi &\sin ^{2}\Psi \end{pmatrix}}\) |
椭圆偏振光¶
我们总是可以移动相位使 \(\phi_x\) 或 \(\phi_y = 0\)。对于琼斯向量来说，一般会保持第一个分量为实数。实际上决定偏振光性质的是两个分量的相对相位，这有点像示波器中的李萨如曲线。
定义 \(\chi = \frac{E_{0y}}{E_{0x}}e^{i(\phi_y - \phi_x)}\)，其中相对相位差 \(\delta = \phi_y - \phi_x\) 不同的值对应不同的偏振态，如下图所示：
事实上，\(\chi\) 这个复数在复平面上的每个点都对应一个偏振态，如下图所示：
量子态¶
本节课剩余部分对这个线性空间作了一些解释。重点在于理解内积和投影算子。
在量子力学中，态矢量是一个复向量空间中的矢量，所以我们要格外注意内积的共轭对称性：\(\braket{\psi}{\phi} = \braket{\phi}{\psi}^*\)。还记得吗，内积的共轭对称性保证了正定性 \(\braket{a|a}\geq0\)，这是一个很重要的性质。
到态 \(\ket{p}\) 的投影算子是 \(\ket{p}\bra{p}\)。下面我们把 \(\ket{p}\) 分解到标准正交基上：
这里的 \(\braket{h|p}\) 和 \(\braket{v|p}\) 被称为概率辐。它是一个数，因此可以移动位置，表示为 \(\ket{p} = \braket{h|p}\ket{h} + \braket{v|p}\ket{v}\)。
接下来算是我们接触到的第一个量子定律（波恩定律 Born Law）：概率幅的平方是测得某个态的概率。
本节课使用光学中的马吕斯定律来引入这一定律，在下一讲我们会看到更正式的的描述。
量子随机性¶
然而本节课还有一个隐藏 BOSS，是我个人觉得最难理解的知识：量子随机性。
首先，随机性和概率是两个不同的东西。举例，\(n\) 次伯努利实验得到 0111010001010 的结果，你会觉得它是随机的，但得到 \(01010101010\) 这么有规律的结果，你会觉得它不随机，但是两者的概率是相等的。对于随机性本身，怎么确定、怎能表述之类的问题，我没有继续深究，接下来我们直接看经典随机性和量子随机性的区别。
宏观世界中只有一种经典随机性，这就是因为我们知道的变量不够多而导致的随机性。比如抛硬币，我们认为随机是因为不知道硬币的受力情况。如果知道，可以计算。但是量子随机性是 irreducible（不可分解）的。以双缝干涉实验为例：每次发射一个光子，它可能通过其中的一个缝，这是量子随机的，没有任何办法预测结果。No reason。
在统计的情况下，我们使用 Born Rule 计算通过这两个门（或者说测量量子态）的概率。但是，测量会引起作用：波函数坍塌。而且，谁测量并不重要，只要测量发生了。
一些有趣的问题：
- 如果有三个缝，其中一个缝上放置了探测器，这时候波函数是什么样的？
- 所有的相互作用都是测量吗？
- 如果一个测量仪器执行测量后，不向外界传输任何信息，然后自毁，波函数坍塌了吗？
关联本课前面的知识，也有一些要点：
- 偏振器执行了测量。对于每一个通过的光子，它考察这样一个问题：你是水平偏振的还是垂直偏振的？然后，要么吸收它，要么让它通过。