Skip to content

数据表示与运算

数字

  • 二进制

    111111100101

  • 八进制

    111 111 100 101

    07745

  • 十进制

    501

  • 十六进制

    1111 1110 0101

    0xFE5

整数

  • 无符号 Unsigned

  • 符号加绝对值 Sign-Magnitude

  • 补码 Two's Complement

  • 反码 One's Complement

  • 余码 Diminished Radix Complement

浮点数

  • IEEE 754 标准

    Info
    精度 位数 符号位（Sign） 指数位（Exponent） 尾数位（Mantissa/Significand）
    单精度 32 1 8 23
    双精度 64 1 11 52
    Reason for Design
    • 指数使用余码：比较和运算时不需要考虑符号

  • 特殊值

    Info
    类型 指数 尾数 备注
    非规范化数 \(0\) 非 \(0\) 用于表示非常小的数，需特殊处理。假定小数点前为 \(0\) 而不是 \(1\)。越小精度越低（为什么？）
    \(0\) \(0\) \(0\) 有正负 \(0\)
    无穷 \(1\) \(0\) 正负无穷
    NAN \(1\) 非 \(0\) 非数值

  • 实数转二进制

    • 整数部分：除 2 取余
    • 小数部分：乘 2 取整

  • 实数转 IEEE 浮点数

    • 符号位 S
    • 转二进制
    • 规范化
    • E=指数+偏移量（余码）
    • 在 M 右侧补位
    • 连接

  • 溢出

    • 上溢 Overflow：超出表示范围（无法表示）
    • 下溢 Underflow：小数部分过小（精度损失）

    发生溢出时，抛出异常。

  • 截断错误

    尾数过大时发生截断。

  • 运算

    • 加减法：
      • 对齐小数点 Align
      • 加减
      • 规范化 Normalize
      • 舍入 Round
    • 乘法：指数尾数分别处理
      • 尾数相乘
      • 指数相加
      • 规范化
      • 符号位
    • 除法与乘法类似

  • 舍入方法

    Info
    • 向零舍入 Truncate
    • 向上舍入 Round Up
    • 向下舍入 Round Down
    • （默认）四舍五入到偶数 Round to Nearest Even

    默认的舍入法需要考虑移到尾数外的三个的比特：Guard、Round、Sticky。

    GRS - Action

    0xx - round down = do nothing (x means any bit value, 0 or 1)

    100 - this is a tie: round up if the mantissa's bit just before G is 1, else round down=do nothing

    101 - round up

    110 - round up

    111 - round up

image-20240511143553069

以下内容未整理。

  • 描述以下存储整数的方法：它们能存储哪些数字？存储、还原的步骤是怎样的？主要应用在哪里？溢出情况如何？
    • 无符号表示法
    • 符号加绝对值表示法（原码）
    • 二进制补码表示法
    • 反码表示法（本书未介绍）

CSAPP：理解补码表示的方法：把最高位看作权重为\(-2^{w-1}\)的位

尝试给出反码运算的数学表达式，并理解反码的表达式是如何构建的？

注意反码操作和整数的反码表示。反码表示的整数中，只有负数才进行反码操作。

  • 浮点数的上溢和下溢：举例单精度浮点数最大负值为\(-(1-2^{-24})\times 2^{+128}\)，其中，尾数 23 位无符号数，最大绝对值为\(2^{24}-1\)，指数 8 位余码数，最大为\(2^{8-1}=128\)。最小负值为\(-(1-2^{-1})\times 2^{-127}\)

Ch4. 数据运算

关键词：算术运算、移位运算、逻辑运算

逻辑运算

位层次和模式层次上的逻辑运算

  • 非、与、或和异或
  • 思考：如何用其他运算符模拟异或？异或的特性
  • 位模式的四种应用：求反、使指定的位复位（置 0）、对指定的位置位（置 1）、使指定的位反转
  • 掩码

移位（Shift）运算

  • 逻辑移位运算
    • 不带符号位的数：这些移位运算可能改变数的符号
    • 填 0 或循环移位（旋转运算）
  • 算数移位运算
    • 假定位模式是使用二进制补码存储的带符号整数。
    • 算数右移对整数除二，算数左移对整数乘二，这些运算本不应该改变符号位
    • 算数右移：保留符号位，并复制入右侧位中，因此保存符号
    • 算数左移：丢弃符号位，接受左边为符号位。如果新符号位与原先相同，运算成功，否则发生溢出

算术运算

二进制补码中的加减法

  • 遇到减法时，转变为加法，只需为第二个数求二进制的补
  • 加法正常

深入理解原码，反码，补码的原理

花了很长时间理解补码的构造意图。自己理了一遍逻辑如下：

  • 计算机只能进行加法，不能进行减法
  • 由于位数的限制，加法相当于在模运算下进行
  • 模运算下的加法可以看作一个闭环

由上面三条说明，我们的目标是：在模运算的闭环中用加法模拟减法

  • 数学定义：
    • 对于长度为 \(\omega\) 的位向量，它的模为 \(2^{\omega}\) ，这一位向量在长度 \(0\sim 2^{\omega}-1\) 的环内
  • 要用加法模拟减法 \(a - b = c\) ，目的是找到 \(d\) 使得 $ (a + d)mod 2^\omega = c$
  • 画出这样一个环，很容易看出加到 \(c\) 和减到 \(c\) 合起来绕了一个圈，因此： \(d = 2^\omega - b\)
  • 通过这一等式可以建立从负数 \(-b\) 到 \(x_d\) 的映射，这个映射把负整数 \(b\) 映射为 \(d = 2^\omega - b\) 的位模式， \(d\) 的位模式就是 \(-b\) 的补码表示
  • 这样的映射就是补码操作：先取反码再+1

接下来再分析以上过程，以 0110 - 0010 = 0100 即 6-2=4 为例

  • \(x\) 是一个负数

  • 找到 \(d=10000-0010=1110\)。我们发现：\(d\) 可以通过取反码再+1 的找到。

    原理：\(\({|x|}_反+|x| = 2^\omega-1\)\)

  • \(0110 + 1110 = 10100\) 取模后即为 \(0100\)

    原理：负数的补码和它的绝对值相加等于模（本质是闭环内绕一圈的两种方法）

    \[2^\omega = x_补 + |x| \]
    • 由以上两式，我们得到了反码和补码的关系：\(x_补={|x|}_反+1\)

  • 要把 \(1110\) 映射为 \(-2\) ，就需要把最左侧的权重设置为 \(-8\)

  • 为什么把最左侧位的权重解释为 \(-8\) 可以做到呢？其实就是进行了 \(-16\) 的操作，反向转了一圈。\(14-16=-2\)

遇到一个有趣的题目：对于一个补码表示的系统，表达式~x的值是多少？

写出三个函数（数字到二进制补码，反码操作，二进制到数字），对分段函数分类讨论，容易得到，~x = \(-1-x\)

符号加绝对值（原码）表示的加减法

一共有四种不同的符号组合，需要考虑 8 种不同的情况

  • 第一步，检查运算，统一为加法
  • 第二步，用异或检查两数的符号一致性
  • 第三步：若符号相同，绝对值相加；若符号不同，绝对值相减（减法原理同上，转换为补码加法），符号是绝对值较大的符号
    • 此处需要考虑上溢：如果 \(A\geq B\) 则有上溢（模运算后舍弃）
    • 如果 \(A < B\) 则无上溢，结果是一个负数，应当取其二进制补码（可以这样理解：绝对值部分使用了补码式的减法运算，结果仍然是补码表示。现在取补码就是转换为无符号整数模式，结合先前确定的符号位，就变回符号加绝对值表示）

值得注意的是，在该加减法中，符号位和绝对值分开计算。绝对值之间的减法运算仍然与补码相同。比如：17-22，

$ 0010001-0010110 = 0010001 + 1101010 = 1111011$，所得结果是补码表示，需要再进行一次补码以还原为无符号整数表示。

实数的加减法

将实数的加减法简化为小数点对齐后以符号加绝对值格式存储的两整数的加法和减法

  • 统一为加法
  • 去规范化
  • 使指数相等
  • 相加，处理上溢
  • 规范化
  • 四舍五入，停止